Distribusi Binomial (yang telah dipelajari terdahulu) memiliki peranan yang penting dalam analisis statistik.
Bila : n besar sekali (n>50)
p kecil sekali (p<1/10)
Maka perhitungan P(S=x) pada Distribusi Binomial sulit dilakukan.
Hasil perkalian n.p menjadi moderat
Misal : n=100
p=1/100
x=4
P ( S = x ) = Cn,x px qn-x
= (C100,4) (1/100)4 (99/100)96 ← sulit dihitung
Dalam hal demikian, pemecahan P(S=x) akan lebih mudah diperoleh dengan menggunakan pendekatan Poisson (Poisson Approximation). Bila kita tulis n.p= m, maka distribusi Poisson yang approksimatif tersebut dapat diberikan sebagai berikut :
mx e-m
f(x) = ¾¾¾ ( e = 2,71828 )
x !
e merupakan nilai batas dari (1+1/k)k
Bila k ® ¥ maka hasilnya dapat dinyatakan sebagai :
e = 1 + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + .................
Penurunan rumus fungsi Poisson :
Pada distribusi Binomial :
P(S=x) = Cn,x . px . qn-x
n!
= ¾¾¾¾ px (1-p)n-x .................................... (1)
x! (n-x)!
n (n-1) (n-2) ....(n-x+1)
Cn,x dapat ditulis sebagai : ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾
x!
maka rumus (1) dapat ditulis :
n (n-1) (n-2) ....(n-x+1)
P(S=x) = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ px (1- p)n-x ....................... (2)
x!
Bila : m = n.p ® p = m/n, maka rumus (2) menjadi :
n (n-1) (n-2) ....(n-x+1)
P(S=x) = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ (m/n)x (1- m/n )n-x , sehingga :
x!
n (n-1) (n-2) (n-x+1) mx
P(S=x) = ¾ . ¾¾ . ¾¾ ......¾¾¾ . ¾ . (1- m/n )n . (1- m/n )-x
n n n n x!
Bila kita mengkonstantir x dan m, dan bila n ® ¥, maka setiap suku
n (n-1) (n-2) (n-x+1)
¾ , ¾¾ , ¾¾ , ....., ¾¾¾ dan (1- m/n )-x
n n n n
akan memiliki nilai sama dengan 1 sebagai nilai batas.
Alhasil kita akan memperoleh :
mx
P(S=x) = ¾ (1- m/n )n
x!
Kita tulis : (1- m/n )n = [ (1- m/n )n/m ] m
Bila : n/m = k, maka [ (1- m/n )n/m ] m = [ (1- 1/k )k ] m
Bila n >> ® k >> dan [ (1- 1/k )k ] akan memiliki nilai e-1 sebagai nilai batasnya.
Jadi :
mx
P(S=x) = ¾ (1- m/n ) n
x!
mx mx
= ¾ ( e-1 ) m = ¾ ( e-m )
x! x!
mx e-m
= ¾¾¾
x!
Bila n diperbesar sehingga ® ¥ dan n.p = m tertentu, maka p harus ® 0
Distribusi Poisson :
mx . e-m
P(S=x) = ¾¾¾
x!
merupakan suatu pendekatan bagi distribusi binomial yang n-nya besar dan p-nya kecil.
Teorema :
Bila P(S=x) = Cn,x . px . (1- p)n-x dimana x = 0, 1, 2, ...... , n dan bila p relatif kecil dibandingkan dengan n, maka :
mx . e-m
P(S=x) = ¾¾¾
x!
Contoh soal:
Menurut data statistik, rata-rata seorang dari 100 petani yang berdiam di desa-desa di Indonesia akan meminta berlangganan majalah “Cara Bercocok Tanam”. Penerbit majalah tersebut mengadakan sales promotion dengan jalan mengirim masing-masing 50 surat untuk berlangganan yang telah dibubuhi perangko kepada petani yang berdiam di desa-desa tertentu. Berapa probabilitas penerbit akan menerima kembali surat permintaan berlangganan sebanyak 5 dari masing-masing desa yang bersangkutan ?
Jawab :
n = 50
p = 1/100
m = n.p = 50 (1/100) = ½
x = 5
mx e-m (1/2)5 (e-1/2)
f(x) = ¾¾¾ = ¾¾¾¾¾
x! 5!
(1/32) (e-1/2)
= ¾¾¾¾¾ = (1/3840) (0.6066) = 0.00016
120
Bila dihitung menggunakan Distribusi Binomial :
P(S=x) = Cn,x . px . qn-x
= C50,5 (1/100)5 (99/100)45 = 0.00013
Teorema :
Bagi distribusi Poisson yang dinyatakan dengan rumus :
mx e-m
P(S=x) = ¾¾¾ ,
x!
rata-rata (mean) dari variansnya dapat diberikan sebagai berikut :
m = n.p = σ 2
m = rata-rata (mean)
σ 2 = varians
Deviasi standar adalah akar dari varians :
σ = √ m = √ n.p
Tidak ada komentar:
Posting Komentar